Ban tổ chức đã huy động được 50 người đến từ Viện Toán học, ĐH Khoa học tự nhiên, ĐH Sư phạm Hà Nội. Khách mời là những người chọn đề rất am hiểu về toán học nói chung, toán sơ cấp và nhiều năm theo dõi IMO nên rất có kinh nghiệm.
Tham dự kỳ thi này gồm 99 nước đăng ký tham gia kỳ thi, kể cả nước chủ nhà Việt Nam. Một số đoàn đã đăng ký từ đầu năm nhưng về sau lại không tham dự được, như đoàn: Guatemala, Kuwait, Modambique, Uruguay, UAE (Các Tiểu vương quốc Ả rập thống nhất).
Ngày 25/7, các thí sinh bắt đầu cuộc thi (trong vòng 2 ngày) tại Trung tâm Hội nghị quốc gia Mỹ Đình. Đề thi gồm 6 bài Toán (với thang điểm 7), tổng cộng điểm tối đa là 42. Mỗi ngày 3 bài Toán, thi trong 4,5 giờ đồng hồ.

Nội dung đề thi như sau:

IMO 2007, ngày đầu tiên

Bài 1

Bài 2
Xét 5 điểm A, B, C, D và E sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và BCED là hình thoi không vuông. Cho l là đường thẳng đi qua A. Giả sử l cắt phía trong của đoạn DC tại F và cắt đường thẳng BC tại G. Giả sử tiếp theo EF = EG = EC. Chứng minh rằng l là phân giác góc DAB.
Bài 3

Trong một cuộc thi toán một số thi sinh là bạn của nhau. Quan hệ bạn bè luôn là hai chiều. Một nhóm các thí sinh được gọi là Clique nếu bất kỳ hai người trong nhóm đều là bạn của nhau. (Như vậy mọi hóm có ít hơn 2 thí sinh luôn là Clique). Số lượng thí sinh trong một Clique được gọi là Kích thước của Clique này.

Trong cuộc thì toán này biết được rằng kích thước cực đại của một Clique là một số chẵn. Chứng minh rằng ta luôn có thể chia các thí sinh của cuộc thi vào hai phòng sao cho kích thước cực đại của một Clique trong một phòng sẽ bằng kích thước cực đại của Clique của phòng thứ hai.

IMO 2007, ngày thứ hai

Bài 4
Trong tam giác ABC đường phân giác góc BCA cắt vòng tròn ngoại tiếp tại R, cắt đường trung trực cạnh BC tại P, và cắt đường trung trực đoạn AC tại Q. Trung điểm đoạn BC là K và trung điểm đoạn AC là L. Chứng minh rằng hai tam giác RPK và RQL có diện tích bằng nhau.

Bài 5
Giả sử a và b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 4ab-1 thì a=b.

Bài 6
Giả sử n là số nguyên dương. Xét tập hợp:
S = {(x, y, z) | x, y, x ∈ {0, 1, ..., n}, x + y + z > 0}
là tập hợp của điểm trong không gian. Hãy xác định số lượng nhỏ nhất các mặt phẳng sao cho hợp của chúng có thể chứa S nhưng không chứa điểm (0, 0, 0).

IMO Problems in English

The IMO 2007 Day 1 Questions

Question 1

Question 2
Consider five points A, B, C, D and E such that ABCD is a parallelogram and BCED is a cyclic quadrilateral. Let l be a line passing through A. Suppose that l intersects the interior of the segment DC at F and intersects line BC at G. Suppose also that EF=EG=EC. Prove that l is the bisector of angle DAB.

Question 3
In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. (In particular, any group of fewer than two competitiors is a clique.) The number of members of a clique is called its size.

Given that, in this competition, the largest size of a clique is even, prove that the competitors can be arranged into two rooms such that the largest size of a clique contained in one room is the same as the largest size of a clique contained in the other room.

The IMO 2007 Day 2 Questions

Ngày 30/7, sẽ diễn ra lễ bế mạc và trao giải. Theo một thành viên BTC, kết quả thi sẽ có sớm nhất vào đêm 29/7.