Tiếp theo ta dựng trung điểm P của đoạn thẳng AB, Q của đoạn thẳng BC, R của đoạn thẳng CD, và S của đoạn thẳng DA bằng công cụ [Dựng hình]Trung điểm. Để dùng công cụ này ta cần chọn điểm A rồi B để dựng trung điểm của AB. Ta cũng có thể chọn trực tiếp đoạn thẳng AB nếu nó đã tồn tại, dù coi nó như là một đoạn thẳng hoặc như là một cạnh của hình tứ giác như trong trường hợp này.

Cuối cùng ta dựng hình tứ giác PQRS bởi công cụ [Đường thẳng] Đa giác.

Trong quá trình dựng hình, với công cụ [Thao tác]Chọn, ta thấy rằng PQRS dường như luôn là một hình bình hành. Cabri cho phép kiểm tra tính song song của các đoạn thẳng PQ và RS, cũng như của các đoạn thẳng PS và QR, bằng cách dùng công cụ [Tính chất] Song song ? Ta chọn cạnh PQ rồi RS, một dòng chữ sẽ hiện ra, khẳng định rằng hai cạnh này song song nhau. Ta kiểm tra tương tự rằng PS và QR song song.



Hình 4.1 - [Bên trái]. Từ một tứ giác bất kì ABCD, ta dựng tứ giác PQRS mà các đỉnh là các trung điểm của ABCD.
[Bên phải]. Dựng các đường chéo của PQRS mà ta sẽ chứng minh là chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Dựng hai đường chéo PR và QS nhờ vào công cụ [Đường thẳng] Đoạn thẳng, và dựng giao điểm I của chúng bởi công cụ [Điểm] Điểm. Có nhiều cách để chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng PR cũng như của đoạn thẳng QS, và như vậy PQRS là một hình bình hành. Ví dụ với tính toán tỉ cự : P là tâm tỉ cự của {(A,1),(B,1)} và R là tâm tỉ cự của {(C,1),(D,1)}, và như thế trung điểm của đoạn thẳng PR là tâm tỉ cự của {(A,1), (B,1), (C,1), (D,1)}, tương tự như vậy đối với trung điểm của đoạn thẳng QS. Do đó hai trung điểm trùng nhau tại điểm l.

Định lý Varignon được phát biểu như sau: Tứ giác PQRS dựng được từ các trung điểm các cạnh của một tứ giác ABCD nào đó là một hình bình hành, và diện tích của nó bằng một nửa diện tích ABCD.

Bài tập 6 - Ở trên ta đã thiêt lập phần đầu tiên của định lý. Hãy chứng minh phần thứ hai của định lý liên quan tới diện tích của PQRS. Ta có thể dựa vào hình 4.2



Hình 4.2 - Phép dựng hình cho phép thiết lập phần hai của định lý

Bây giờ ta cố định các điểm A, B, C và dịch chuyển D sao cho PQRS là hình chữ nhật. Như ta đã biết PQRS đã là một hình bình hành, như vậy chỉ cần một trong các góc của nó là vuông để khẳng định đó là một hình chữ nhật. Vì vậy ta đo góc tại P, bằng công cụ [Đo] Đo góc. Công cụ này đòi hỏi ta phải chọn ba điểm xác định một góc trong đó đỉnh là điểm thứ hai. Ví dụ ở đây ta sẽ chọn các điểm S, P (đỉnh của góc) và Q.



Hình 4.3 - Ta đo góc P của hình bình hành PQRS

Công cụ [Đo] Đo góc cũng cho phép đo một góc được đánh dấu trước với công cụ [Văn bản và biểu tượng] Đánh dấu góc. Công cụ này đòi hỏi ba điểm xác định một góc, theo cùng thứ tự như ở công cụ [Đo] Đo góc.

Khi dịch chuyển D để PQRS là một hình chữ nhật, ta có thể nhận thấy các điểm tìm được có vẻ như thẳng hàng với nhau. Thật ra, nếu ta dựng các đường chéo AC và BD của hình tứ giác ban đầu, ta thấy rằng các cạnh PQRS song song với các đường chéo này, vì vậy PQRS là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC và BD vuông góc nhau. Bây giờ ta sẽ định nghĩa lại D sao cho PQRS luôn là hình chữ nhật. Vẽ đường thẳng AC với công cụ [Đường thẳng]Đường thẳng bằng cách chọn A và C, tiếp theo dựng đường vuông góc với đường thẳng này đi qua B, với công cụ [Dựng hình]Đường thẳng vuông góc bằng cách chọn B và đường thẳng AC.

Ở thời điểm này D là một điểm tự do trong mặt phẳng. Ta sẽ thay đổi cách định nghĩa của đi ểm này bằng cách biến nó thành một điểm tự do trên đường thẳng vuông góc với AC đi qua B. Kích hoạt công cụ [Dựng hình] Định nghĩa lại một đối tượng rồi chọn D. Một bảng chọn xuất hiện đưa ra các sự chọn lựa cho việc định nghĩa lại D. Ta chọn Điểm trên đối tượng, rồi chọn một điểm trên đường thẳng vuông góc. D sẽ tự dịch chuyển thành điểm này, và như vậy kể từ đó nó sẽ phải luôn nằm trên đường thẳng. Định nghĩa lại một đối tượng là một công cụ khám phá rất mạnh, cho phép thêm hoặc bớt các ràng buộc của các đối tượng của một hình mà không cần phải tạo lại toàn bộ hình đó.



Hình 4.4 - Điểm D bây giờ được định nghĩa lại sao cho PQRS luôn là một hình vuông. Điểm này ở một mức độ nào đó vẫn là điểm tự do ; nó chuyển động trên một đường thẳng.

Bài tập 7 - Tìm điều kiện cần và đủ để PQRS là một hình vuông. Định nghĩa điểm D lại một lần nữa sao cho việc dựng hình luôn đưa ra kết quả là hình vuông.



Hình 4.5 - Bây giờ điểm D hoàn toàn không còn mức độ tự do nào nữa và PQRS luôn là một hình vuông.

Xem toàn bộ sách hướng dẫn sử dụng:

Bài 1. Giới thiệu

Bài 2. Phép dựng hình đầu tiên của bạn

Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG EULER TRONG TAM GIÁC

Bài 4. CHINH PHỤC ĐIỂM BÍ HIỂM

Bài 5. TỨ GIÁC VARIGNON