5. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính:

7. Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng:

8. Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho:

9. Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ thì:

10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

13. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0.

b) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.

c) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và C bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của B và D.

II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác bằng:

(A) 4

(B) 6

(C) 8

(D) 12.

2. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ khác cùng phương với có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng:

(A) 4

(B) 6

(C) 7

(D) 8.

3. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 6.

4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ là:

(A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 9.

5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

7. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

8. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành OABC, C nằm trên Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) có tung độ khác 0

(B) A và B có tung độ khác nhau;

(C) C có hoành độ bằng 0

(D) x_A + x_C - x_B = 0.

12. Cho bốn điểm A(1 ; 1), B(2; -1), C(4 ; 3), D(3 ; 5). Chọn mệnh đề đúng:

13. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-5 ; -2), B(-5 ; 3), C(3 ; 3), D(3; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gốc O là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

16. Cho M(3 ; -4). Kẻ MM₁ vuông góc với Ox, MM₂ vuông góc với Oy. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2 ; -3), B(4 ; 7). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

(A) (6 ; 4)

(B) (2; 10)

(C) (3 ; 2)

(D) (8 ; -21)

18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(5 ; 2), B(10 ; 8). Tọa độ của vectơ là:

(A) (15 ; 10)

(B) (2 ; 4)

(C) (5 ; 6)

(D) (50 ; 16).

19. Cho tam giác ABC có B(9 ; 7), C(11 ; -1), M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tọa độ của vectơ là:

(A) (2 ; -8)

(B) (1 ; -4)

(C) (10 ; 6)

(D) (5 ;3).

20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3; -2), B(7; 1), C(0; 1), D(-8; -5). Khẳng định nào sau đây là đúng?

21. Cho ba điểm A(-1;5), B(5;5), C(-1;11). Khẳng định nào sau đây là đúng?

26. Cho A(1;1), B(-2;-2), C(7;7). Khẳng định nào đúng?

(A) G(2;2) là trọng tâm của tam giác ABC

(B) Điểm B ở giữa hai điểm A và C

(C) Điểm A ở giữa hai điểm B và C

(D) Hai vectơ và cùng hướng.

27. Các điểm M(2;3), N(0;-4), P(-1;6) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

(A) (1;5)

(B) (-3;-1)

(C) (-2;-7)

(D) (1;-10)

28. Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là A(-2;2), B(3;5). Tọa độ của đỉnh C là:

(A) (-1;-7)

(B) (2;-2)

(C) (-3;-5)

(D) (1;7).

29. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

Bạn có biết?

Tìm hiểu về vectơ

Việc nghiên cứu vectơ và các phép toán trên các vectơ bắt nguồn từ nhu cầu của cơ học và vật lí. Trước thế kỉ XIX người ta dùng tọa độ để xác định vectơ và quy các phép toán trên các vectơ về các phép toán trên tọa độ của chúng. Chỉ vào giữa thế kỉ XIX, người ta mới xây dựng được các phép toán trực tiếp trên các vectơ như chúng ta đã nghiên cứu trong chương I. Các nhà toán học Ha-min-tơn (W. Hamilton), Grat-sman (H. Grassmann) và Gip (J. Gibbs) là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống về vectơ. Thuật ngữ “Vectơ” cũng được đưa ra từ các công trình ấy. Vectơ theo tiếng La-tinh có nghĩa là Vật mang. Đến đầu thế kỉ XX vectơ được hiểu là phần tử của một tập hợp nào đó mà trên đó đã cho các phép toán thích hợp để trở thành một cấu trúc gọi là không gian vectơ. Nhà toán học Vây (Weyl) đã xây dựng hình học Ơ-clit dựa vào không gian vectơ theo hệ tiên đề và được nhiều người tiếp nhận một cách thích thú. Đối tượng cơ bản được đưa ra trong hệ tiên đề này là điểm và vectơ . Vệc xây dựng này cho phép ta có thể mở rộng số chiều của không gian một cách dễ dàng và có thể sử dụng các công cụ của lí thuyết tập hợp và ánh xạ. Đồng thời hình học có thể sử dụng những cấu trúc đại số để phát triển theo các phương hướng mới.

Vào những năm giữa thế kỉ XX, trong xu hướng hiện đại hóa chương trình phổ thông, nhiều nhà toán học trên thế giới đã vận động đưa việc giảng dạy vectơ vào trường phổ thông. Ở nước ta, vectơ và tọa độ cũng được đưa vào giảng dạy ở trường phổ thông cùng với một chương trình toán hiện đại nhằm đổi mới để nâng cao chất lượng giáo dục cho phù hợp với xu thế chung của thế giới.

Schoolnet