Với hướng tiếp cận mới này đối với các phép nhân cơ sở, chúng ta có thể đạt được cách sử dụng cặp chữ số trong số bị nhân để tính được mỗi hàng kết quả. Mỗi hàng, bạn nhớ lại rằng, đó là chữ số ở ngay trước khoảng trống ở vị trí kết quả sẽ xuất hiện, còn số liền kề là chữ số của số bị nhân nằm ngay bên phải của hàng hiện thời. Khái niệm cặp: chữ số - số liền kề, ở vị trí cần xét, sẽ được sử dụng lại ở chương này nhưng với một ý nghĩa khác.

Chúng ta đã sẵn sàng để thực hiện bước tiếp theo của phép nhân. Chúng ta sẽ học cách nhân bất kỳ số nào với nhau mà không quan tâm đến độ dài của chúng, và đạt được kết quả tức thời mà không phải qua bước gián tiếp nào. Mẫu tổng quát của phép nhân,ví dụ 625 và 346, được viết dưới dạng:

Chúng ta sẽ học cách thực hiện phép nhân theo mẫu mới này. Không cần viết thêm các chitiết nào ở đây. Có ba hàng được viết mà không được sử dụng. Chúng ta sẽ viết vấn đề theo mẫu trên, tính toán các vị trí của nó, và sau đó ta sẽ lập tức viết kết quả.

Chúng ta có hai cách để đạt được nó. Mỗi cách có một tiện lợi trong các hoàn cảnh nhất định, và cả hai cách đều đưa ra kết quả chính xác. Tuyệt vời hơn, chúng đều có tính tổng quan để dễ dàng học cách sử dụng. Trong phần giới thiệu chương chúng ta đã xem xét cách thức được gọi là phương pháp trực tiếp thực hiện phép nhân. Đó là phương pháp tương đối thích hợp khi ta nhân các số bao gồm các chữ số nhỏ, như 1,2,3. Trong chương tiếp theo sẽ sử dụng một phương pháp khác, được gọi là “cách tính nhanh”. Nó bao gồm sự kết hợp giữa phương pháp trực tiếp và bổ xung thêm các chi tiết khác. Phương pháp này quan tâm đến các trường hợp khó hơn với các số có chữ số lớn, như 987 nhân 688.

Cả hai phương pháp đều có thể áp dụng trong mỗi trường hợp. Cả hai đều đưa ra kết quả chính xác. Bấy giờ chúng ta sẽ đề cập đến lý do áp dụng chúng cho thích hợp, để tiện lợi cho việc tính toán, trong mỗi trường hợp cụ thể chúng ta sẽ gặp.

Theo quan sát, dường như phương pháp tính toán trực tiếp đã được những người tham gia các cuộc thi tính nhanh áp dụng trước khi hệ thống Trachtenberg được giới thiệu. Những “thầy phù thủy toán học”, những người thuyết phục người xem bởi năng lực tính toán đặc biệt của họ, đã thường giấu bí mật về các kỹ thuật tính toán của họ vì nhưng dường như họ đã dử dụng một phương pháp tương tự như cách tính trực tiếp – có thể khác biệt đôi chút.

Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản của cách tính trực tiếp với tích của hai số tương đối nhỏ và sau đó sử dụng chúng với những trường hợp phức tạp hơn.

PHÉP NHÂN VỚI CÁC SỐ CÓ ĐỘ DÀI NGẮN: TÍCH CỦA HAI SỐ CÓ HAI CHỮ SỐ.

Giả sử chúng ta muốn nhân 23 với 14. Chúng ta viết lại chúng theo mẫu:

Khi nhân với số nhân có hai chữ số, chúng ta luôn đặt hai chữ số 0 ở bắt đầu của số bị nhân, như cách viết trên.

Kết quả được viết dưới số 0023, từng chữ số một tại một thời điểm, bắt đầu ở vị trí bên phải. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ viết chữ số cuối cùng của kết quả dưới chữ số 3, và điền các chữ số kết quả còn lại từng chữ số một theo hướng dịch bên trái.

Bước đầu tiên:

Nhân chữ số hàng bên phải của số bị nhân, số 3 của 23, với chữ số hàng bên phải của số nhân, số 4 của 14. Trong kết quả ta viết số 2 của 12 và nhớ 1 (sử dụng dấu chấm .):

Bước hai: Chúng ta nhận các hàng tiếp theo của kết quả, ở dưới vị trí 2 của 23, bằng cách tính hai số (hai kết quả thành phần) rồi cộng chúng với nhau. Số thứ nhất là 8, từ kết quả của 2 nhân 4:

Phần thứ 2 được tính từ phép nhân hai hàng khác, 3 với 1.

Bây giờ chúng ta cộng hai kết quả với nhau: 8 cộng 3 là 11. Đó là những điều mà chúng ta muốn. Nhưng chúng ta vẫn còn phải nhớ 1, do đó kết quả ở hàng tiếp theo là 12, do đó ta viết số 2 và nhớ 1.

Bước cuối cùng: Nhân hàng bên trái nhất của số bị nhân, 2 của 23 với hàng bên trái nhất của số nhân, 1 của 14:

Trong trường hợp này chúng ta không cần sử dụng đến các số 0 ở phần đầu số bị nhân. Đó là nơi dùng để cho số nhớ trong các trường hợp tạo kết quả là 10 hoặc lớn hơn. Trong ví dụ này chúng ta chỉ có số 3.

Bước thứ hai là một cách thức tính toán mới. Chúng ta sử dụng hai chữ số của số bị nhân để tính được một hàng kết quả. Chúng ta cộng các thành phần, 8 và 3 và được 11 sử dụng trong kết quả. 8 và 3 đến từ việc nhân hai cặp chữ số mà chúng ta gọi là “phần ngoài” và “phần bên trong”.

Quy tắc cho việc tìm các chữ số trong cặp là: chữ số của số bị nhân chúng ta đang làm việc (hay nói cách khác, là chữ số ngay ở vị trí phía trên chữ số của kết quả sẽ được tính) là một phần của “cặp ngoài”; trong ví dụ trên là số 2 của 23. Chữ số còn lại của “cặp ngoài” là chữ số hàng bên phải của số nhân, bởi vì đó là vị trí ngoài, số 4 của 14. Cặp số còn lại, gồmphần “cặp trong” 3 và 1, được lấy từ hai chữ số trực tiếp nằm bên trong hai cặp số bạn đã tìm bước trước.

Cặp số ngoài và cặp số trong sẽ được sử dụng thường xuyên, do đó chúng ta cần nhanh chóng xác định bằng các thực hành. Xem 3 ví dụ sau:

Trong trường hợp 38 nhân 14

Bước thứ nhất: Việc đầu tiên ta làm là thực hiện phép nhân 8 với 4 và nhận được 32. Chúng ta viết 2 và nhớ 3.

Bước thứ 2: Để tìm chữ số tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng cặp số ngoài và cặp số trong. Với số 38, ta xác định được số 3, là vị trí ở ngay phía trên vị trí hàng kết quả cần tìm. Do đó 3 là vị trí của cặp số ngoài. Cần tính số còn lại trong cặp số ngoài. Đó là một chữ số của số 14, và tất nhiên là số 4, là chữ số bên ngoài của 14. Cặp số bên trong nằm ngay bên trong hai số này (kết quả: 8 và 1).

Bây giờ chúng ta nhân: 3 nhân 4 là 12, và8 nhân 1 là 8. Cộng hai phần kết quả, 12 và 8, ta được 20. Số nhớ 3 cần được cộng thêm, do đó kết quả là 23. Ta viết số 3 và nhớ 2.

Bước cuối: Nhân 2 chữ số bên trái nhất, 3 của 38 và 1 của 14. Sau đó cộng 2 là số nhớ, được 5:

Sau đây là 2 ví dụ chúng ta sẽ giải quyết, nhưng được viết ở dạng ngắn gọn. Các chữ số được gạch chân đã được cộng phần nhớ. Quan sát nó nếu bạn muốn tìm vị trí nơi chữ số được viết trong hàng kết quả sẽ được tính như thế nào:

Bạn có thể thử thêm một hoặc hai ví dụ để củng cố. Sau đây là vài bài luyện, với kết quả được viết dưới.

Kết quả:

Nếu bạn đối chiếu những gì bạn đang làm, bạn sẽ thấy rằng, việc thực hiện diễn ra một cách hết sức tự nhiên. Để thực hiện việc nhân hai số có hai chữ số, đầu tiên bạn tính chữ số hàng bên phải nhất của kết quả, bằng cách nhân 2 chữ số bên phải nhất của hai số, ví dụ 23 nhân 14 sẽ tính bằng 3 nhân 4. Để tìm chữ số bên trái nhất của kết quả, bạn nhân hai hàng bên trái nhất, ví dụ 2 nhân 1 trong ví dụ trên. Trong các hàng giữa, để nhận được kết quả, ta dùng cặp số bên trong và bên ngoài. Mỗi cặp số gồm hai chữ số của số bị nhân và số nhân được kết hợp lại.

Chúng ta sẽ dùng cặp số bên trong và bên ngoài thêm trong các trường hợp khác nữa. Trong thực tế, chúng ta sẽ sử dụng chúng cho phép nhân lớn hơn. Tất nhiên, để làm điều đó bạn không cần phải viết cặp số bằng cách vẽ những đường cong nối mỗi số như ở trên. Nó được vẽ biểu diễn trong đoạn trên chỉ để diễn đạt ý nghĩa. Trong thực hành thực tế chúng ta có thể nhận biết cặp số ngoài bằng cách quan sát rằng nó bao gồm chữ số của số bị nhân ngay trước khoảng trống trong hàng kết quả, đó là vị trí chữ số kết quả tiếp theo sẽ xuất hiện. Cặp số bên trong là cặp số nằm trong cặp số ngoài, thể hiện như đường nối ở lược đồ trên.

(Còn tiếp ...)

School@net