Trang chủ   Sản phẩm   Phần mềm Dành cho nhà trường   Phần mềm Hỗ trợ học tập   Kho phần mềm   Liên hệ   Đăng nhập | Đăng ký

Tìm kiếm

School@net
Bảng giá phần mềm
Educations Software

Đại Lý - Chi Nhánh

Bản tin điện tử
 
Hỗ trợ trực tuyến
Hỗ trợ kỹ thuật
(Bùi Văn Khoa)
Trang thông tin hỗ trợ khách hàng
 
Đăng nhập/Đăng ký
Bí danh
Mật khẩu
Mã kiểm traMã kiểm tra
Lặp lại mã kiểm tra
Ghi nhớ
 
Quên mật khẩu | Đăng ký mới
 
Xem bài viết theo các chủ đề hiện có
  • Hoạt động của công ty (700 bài viết)
  • Sản phẩm mới (215 bài viết)
  • Dành cho Giáo viên (549 bài viết)
  • Lập trình Scratch (3 bài viết)
  • Mô hình & Giải pháp (156 bài viết)
  • IQB và mô hình Ngân hàng đề kiểm tra (127 bài viết)
  • Hỗ trợ khách hàng (486 bài viết)
  • TKB và bài toán xếp Thời khóa biểu (242 bài viết)
  • Học tiếng Việt (183 bài viết)
  • Thông tin khuyến mại (79 bài viết)
  • Download - Archive- Update (289 bài viết)
  • Các Website hữu ích (70 bài viết)
  • Cùng học (92 bài viết)
  • Thông tin tuyển dụng (55 bài viết)
  • Learning Math: Tin học hỗ trợ học Toán trong nhà trường (78 bài viết)
  • School@net 15 năm (154 bài viết)
  • Mỗi ngày một phần mềm (7 bài viết)
  • Dành cho cha mẹ học sinh (124 bài viết)
  • Khám phá phần mềm (122 bài viết)
  • GeoMath: Giải pháp hỗ trợ học dạy môn Toán trong trường phổ thông (36 bài viết)
  • Phần mềm cho em (13 bài viết)
  • ĐỐ VUI - THƯ GIÃN (363 bài viết)
  • Các vấn đề giáo dục (1210 bài viết)
  • Bài học trực tuyến (1037 bài viết)
  • Hoàng Sa - Trường Sa (17 bài viết)
  • Vui học đường (275 bài viết)
  • Tin học và Toán học (220 bài viết)
  • Truyện cổ tích - Truyện thiếu nhi (180 bài viết)
  • Việt Nam - 4000 năm lịch sử (97 bài viết)
  • Xem toàn bộ bài viết (8179 bài viết)
  •  
    Thành viên có mặt
    Khách: 13
    Thành viên: 0
    Tổng cộng: 13
     
    Số người truy cập
    Hiện đã có 54154498 lượt người đến thăm trang Web của chúng tôi.

    Toán 12- Nâng Cao - Chương I - Bài 4 THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

    Ngày gửi bài: 12/11/2011
    Số lượt đọc: 9768

    §4 THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

    1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?

    Chúng ta biết rằng trong mặt phẳng, mỗi đa giác có một diện tích. Đó là số đo phần mặt phẳng mà đa giác đó chiếm chỗ. Tương tự như vậy, các khối đa diện chiếm những phần không gian lớn nhỏ khác nhau. Thể tích của mỗi khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.

    Chúng ta đã biết các công thức tính thể tích của một khối đa diện đơn giản. Sau đây chúng ta sẽ nói rõ hơn về các công thức này.

    Để có những công thức như thế, chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa điện có thể tích là một sốdương, thỏa mãn các tính chất sau đây :

    1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

    2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.

    3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.

    CHÚ Ý

    1) Trong thực tế, khi phải đo lường và tính toán về độ dài, diện tích và thể tích, người ta thường dùng những đơn vị đo độ dài là 1cm chẳng hạn thì theo tính chất 3, khối lập phương có cạnh bằng 1 (hiểu là 1cm) sẽ có thể tích bằng 1, nhưng hiểu là 1cm3. Tương tự, khối lập phương có cạnh 1dm sẽ có thể tích là 1dm3, khối lập phương có cạnh 1km thì có thể tích là 1km3,…

    2) Đôi khi để đơn giản, thể tích của khối đa diện giới hạn bởi hình đa diện cũng được gọi là thể tích của hình đa diện

    2. Thể tích của khối hộp chữ nhật

    Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c đều là những số nguyên dương. Khi đó, bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (h.25).

    Hình 25


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h25.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Hiển nhiên số các khối lập phương đó bằng tích số a.b.c.

    Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương và theo tính chất 3, mỗi khối lập phương đó có thể tích bằng 1. Từ đó ta suy ra công thức

    V = abc.

    Trong trường hợp các kích thước a, b, c của khối hộp chữ nhật là những số dương tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên), người ta chứng minh được rằng công thức nói trên vẫn đúng. Như vậy một cách tổng quát ,ta có :

    ĐỊNH LÍ 1

    Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích thước.

    Ví dụ 1. Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.

    Giải. Giả sử có khối tám mặt đều với các đỉnh là S, S, A, B, C, D (h.26). Gọi MN lần lượt là trọng tâm của tam giác SABSBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ABBC thì M N lần lượt nằm trên SMSN nên

    Vậy thể tích của khối lập phương là


    Hình 26


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h26.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    1

    Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng ab. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

    3. Thể tích của khối chóp

    Dùng phương pháp giới hạn, người ta có thể chứng minh được định lí sau đây.

    ĐỊNH LÍ 2

    Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.

    Như vậy, nếu ta kí hiệu diện tích mặt đáy của khối chóp là Sđáy và chiều cao của khối chóp là h (h là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp) thì thể tích V của khối chóp đó được tính theo công thức

    Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

    Giải

    Xem tứ diện ABCD (cạnh bằng a) như hình chóp có đỉnh là A và đáy là tam giác đều BCD có cạnh bằng a (h.27).


    Hình 27


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h27.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Diện tích mặt đáy là

    Gọi H là tâm của tam giác đều BCD thì AH là đường cao của hình chóp A.BCD. Bởi vậy chiều cao của hình chóp là

    Từ đó ta suy ra khối tứ diện ABCD có thể tích là

    Ví dụ 3. Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a.

    Giải

    Trên hình 28, ta có khối tám mặt đều với các đỉnh là A, B, C, D, E, F. Ta có thể phân chia khối đa diện thành hai khối chóp tứ giác đều A.BCDEF.BCDE. Vì hai khối chóp đó bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, do đó có thể tích V của khối bằng hai lần thể tích V1 của khối chóp A.BCDE.



    Hình 28


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h28.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Chú ý rằng BCDE là hình vuông cạnh a với tân O và tam giác ABD là tam giác vuông cân đỉnh A, ta tính được :

    Từ đó suy ra khối tám mặt đều nói trên có thể tích là

    4. Thể tích của khối lăng trụ

    Bài toán. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.ABC biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h (h.29).



    Hình 29


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h29.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    2(để giải bài toán)

    a) Chia khối lăng trụ ABC.ABC thành bà khối tứ diện bởi các mặt phẳng (ABC) và (ABC), hãy kể tên ba khối tứ diện đó.

    b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.

    c) Từ đó suy ra công thức V = S.h. Hãy phát biểu bằng lời công thức đó.

    Bây giờ, xét khối lăng trụ có đáy là một đa giác bất kì. Vì bất kì đa giác nào cũng có thể phân chia được thành các tam giác không có điểm trong chung nên có thể phân chia khối lăng trụ đó thành các khối lăng trụ tam giác có cùng chiều cao (h.30). Tổng các thể tích của chúng chính là thể tích của khối lăng trụ ban đầu. Từ đó suy ra định lí sau đây.



    Hình 30


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h30.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    ĐỊNH LÍ 3

    Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó.

    Ví dụ 4. Cho khối lăng trụ ABC.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA và BB. Mặt phẳng (MNC) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

    Giải

    Nếu gọi V là thể tích của khối lăng trụ thì thể tích của khối tứ diện CABC, do đó thể tích của khối chóp C.ABBA(h.31). Vì hai khối chóp C.ABMNC.MNBA

    Và thể tích khối đa diện ABCMNC


    Ta có tỉ số thể tích hai phần được phân chia là



    Hình 31


    Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch1_h31.cg3

    Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

    Câu hỏi và bài tập

    15. Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu :

    a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;

    b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;

    c) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với một cạnh đáy ;

    16. Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.

    17. Tính thể tích của khối hộp ABCD.ABCD, biết rằng AABD là khối tứ diện đều cạnh a.

    18. Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

    19. Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, . Đường thẳng BC tạo với mp(AACC) một góc 30o.

    a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.

    b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

    20. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o.

    a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

    b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB là một hình chữ nhật.

    c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.ABC (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

    21. Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?

    22. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC. Gọi M là trung điểm của AA . Mặt phẳng đi qua M, B, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

    23. Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A, B, C khác với S. Gọi V V lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCS.ABC. Chứng minh rằng :

    24. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

    25. Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện ABCD thì

    School@net



    Bài viết liên quan:
    Toàn bộ chương trình sách giáo khoa môn Toán, phần Hình học lớp 12 - Nâng cao đã lên mạng với tất cả các hình ảnh động kèm theo (22/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 5. Ôn tập cuối năm (21/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 4. Ôn Tập Chương III (19/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 3. Phương trình đường thẳng (19/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (18/11/2011)
    Toán 12 - Chương III - Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. (18/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 5. ÔN TẬP CHƯƠNG II (17/11/2011)
    Toán 12 - Chương II - Bài 4. Mặt nón, hình nón và khối nón (17/11/2011)
    Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ (16/11/2011)
    Toán 12 - Chương II - Bài 2. Khái niệm về mặt tròn xoay (15/11/2011)

    Phần mềm liên quan:

    Kiểm tra và ôn luyện kiến thức Anh 10
    60 000 VND

    Bài giảng Hình học 11 - GeoMath 11
    60 000 VND

    Trắc nghiệm Giao thông
    45 000 VND

     Bản để in  Lưu dạng file  Gửi tin qua email


    Những bài viết khác:



    Lên đầu trang

     
    CÔNG TY CÔNG NGHỆ TIN HỌC NHÀ TRƯỜNG
     
    Phòng 1407 - Nhà 17T2 - Khu Trung Hoà Nhân Chính - Quận Cầu Giấy - Hà Nội
    Điện thoại: (04) 62511017 - Fax: (04) 62511081
    Email: school.net@hn.vnn.vn


    Bản quyền thông tin trên trang điện tử này thuộc về công ty School@net
    Ghi rõ nguồn www.vnschool.net khi bạn phát hành lại thông tin từ website này
    Site xây dựng trên cơ sở hệ thống NukeViet - phát triển từ PHP-Nuke, lưu hành theo giấy phép của GNU/GPL.