Giải bài toán sau:

Cho hàm số:

1) Vẽ đồ thị hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Biết rằng tiếp tuyến qua điểm M(-1,-3)

3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình =m

4) Tìm m để phương trình =m có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho -1

Ta bắt đầu giải bài toán bằng phần mềm Autograph

y =

Bước 1: Thu nhỏ tỉ lệ chia đơn vị trên các trục tọa độ. Ta tiến hành như sau:

Vào menu Axes chọn mục Edit Axes… một hộp thoại xuất hiện:

Ta thay đổi giá trị Minimum và Maximum trên trục tọa độ x và y tùy theo tỉ lệ mà ta muốn chia. Trong bài này tôi chọn :

Trên trục x : Minimum là -12 và Maximum là 12

Trên trục y : Minimum là -8 và Maximum là -8

Như hộp thoại dưới đây

Sau bấm OK ta được tỉ lệ đơn vị trên mỗi trục tọa độ mà ta mong muốn.

Bước 2: Đưa con trỏ chuột chọn nút Enter Equation… như hình vẽ dưới đây:

Bước 3: Nhập phương trình đồ thị cần vẽ vào hộp thoại Equation:

Sau bấm nút OK ta được đồ thị của hàm số :

Bước 4: Để ta có thể quan sát đồ thị được rõ hơn ta làm cho đồ thị đậm hơn ta tiến hành như sau:

Đưa con trỏ chuột chọn đồ thị hàm số

Đưa con trỏ chuột chọn nút Thick Line trên thanh công cụ như hình vẽ:

Tiếp đó ta chọn độ dày mà ta mong muốn thu được đồ thị như hình dưới đây:

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1,-3)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1,-3) có dạng:

y=k(x+1)-3

Bây giờ ta cần tính giá trị của k:

Ta tiến hành thực hiện trên phần mềm Autograph

Ta vẽ đường thẳng y=k(x+1)-3 trên cùng trục tọa độ với đồ thị hàm số

Ta được hình vẽ dưới đây:

Để thấy được sự di chuyển của đường thẳng so với đồ thị hàm số một cách trực quan khi ta thay đổi giá trị của k ta bấm chuột vào nút (constant controller) một hộp thoại xuất hiện :

Hai mũi tên (phải) , (trái) cho phép ta thay đổi giá trị của Step là giá trị tăng lên hay giảm đi của k sau mỗi lần ta kích mũi tên (lên) hay ( xuống)

Với những giá trị như hộp thoại trên thì mỗi lần ta kích mũi tên tên (lên) hay (xuống) thì giá trị của k sẽ tăng lên hay giảm đi 1.

Thay đổi giá trị của k quan sát trực quan ta thấy tại vị trí k= -3 thì đường thẳng tiếp xúc đồ thị hàm số như hình dưới đây:

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1,-3) là y= -3x-6

3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình =m (1)

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= và đường thẳng y=m

Do đó dựa vào đồ thị ta suy ngay ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình

Trước tiên ta vẽ đồ thị hàm số y=và đường thẳng y=m bằng phần mềm Autograph ta được hình vẽ dưới đây:

Để thấy được sự dịch chuyển của đường thẳng so với đồ thị hàm số y= một cách trực quan khi ta thay đổi giá trị của m ta bấm chuột vào nút (constant controller) một hộp thoại xuất hiện:

Với những giá trị như hộp thoại trên thì mỗi lần ta kích mũi tên tên (lên) hay ( xuống) thì giá trị của m sẽ tăng lên hay giảm đi 0.1

Mỗi lần thay đổi giá trị của m ta quan sát được trực quan sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số y=

Từ sự quan sát trực quan khi ta thay đổi giá trị của m ta được kết quả như sau:

- Nếu m<-6 thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số y= tại hai điểm phân biệt do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

- Nếu m= -6 thì đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y=tại một điểm do đó phương trình (1)có một nghiệm kép.

- Nếu -6 do đó phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu m=3 thì đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y= tại hai điểm do đó phương trình (1) có hai nghiệm kép

- Nếu m>3 thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số y= tại 4 điểm do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

4. Tìm m để phương trình =m (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho -1