Như vậy ta có: S(O; R) = {M| OM = R}
Giả sử cho mặt cầu
S (O; R) và một điểm A nào đó.
Hình 100. Khái niệm mặt cầu.

Dịch chuyển điểm A trên mặt phẳng và so sánh độ dài AO với bán kính hình cầu để quan sát vị trí tương đối của A so với mặt cầu: nằm ngoài, trên hay trong hình cầu.
Nếu OA = R thì theo định nghĩa điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R).
Nếu OA Nếu OA> R ta nói rằng điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R).
Hình 100 biểu diễn các điểm A1, A2, A3, tương ứng nằm trên, nằm trong và nằm ngoài mặt cầu S (O; R).
2. Bán kính, đường kính của mặt cầu
Định nghĩa. Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R) thì đoạn thẳng OA cũng được gọi là bán kính của mặt cầu (S). Trên đường thẳng OA lấy điểm B sao cho O là trung điểm AB thì OB = R nên B cũng thuộc mặt cầu (S). Đoạn thẳng AB được gọi là đường kính của mặt cầu S(O; R).
Như vậy một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của nó.
3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc vuông.
Giải: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
{M| gocAMB= 90º} = { M | OM = AB/2} = S(O, AB/2)
Vậy tập hợp tất cả những điểm M là mặt cầu tâm O bán kính AB/2 hay là mặt cầu đường kính AB
Hình 101. Minh họa cho ví dụ 1

Điểm M luôn chuyển động tự do trên mặt cầu đường kính AB.
Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian sao cho tổng bỉnh phương các khoảng cách từ M tới hai điểm cố định A, B bằng một hằng số K².
Giải: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB (h. 102) thì với một điểm M bất kì trong không gian ta có:

Bởi vậy ta có:
Đoạn thẳng CD có độ dài K. M là điểm chuyển động sao cho MA2 + MB2 = K2.
Khi đó tập hợp tất cả những điểm M là mặt cầu tâm O bán kính

b) Nếu thì OM = 0 hay M ≡ O. Vậy quỹ tích M chỉ gồm một điểm O.
c) Nếu thì quỹ tích là tập rỗng.
Hình 102. Minh họa cho ví dụ 2.

Dịch chuyển các điểm C, D, A, B để quan sát dáng điệu quĩ tích của M.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Chứng minh rằng 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
Cho tam giác ABC vuông tại B, đoạn DA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, C, B, D.
Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a tính bán kính của mặt cầu nói trên.
3. Cho hình chóp từ giác đều S. ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.