Có thể sử dụng Gsketch bằng hai cách:
- Sau khi tìm được quĩ tích , dùng máy để minh hoạ.
- Dựng quĩ tích trước (máy dựng) rồi tìm ra tính chất của quĩ tích sau.
Xin giới thiệu một số bài toán quĩ tích về Các phép biến hình và phần mở rộng: sự chuyển động của đường thẳng- tạo ra các đường Conic: Hypebol, Elip và đường tròn. (ở mỗi bài có nút lệnh ANIMATE tức là chuyển động)
(Xin lưu ý: Gsketch chỉ hỗ trợ cho người làm toán chứ không thể thay thế cái đầu tư duy của người làm toán – nhất là phần đảo trong bài toán quĩ tích).
I. PHÉP TỊNH TIẾN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, AB cố định, D di động trên đường tròn (O). Tìm quĩ tích C.
HD:
Quĩ tích C là đường tròn (O’) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến trên.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm, J là trung điểm AH, M và N là các giao điểm của hai đường tròn tâm H bán kính HA và đường tròn tâm A bán kính AH. Tìm quĩ tích J, M, N khi B,C cố định và A chạy trên (O).
HD: - Chứng minh AH=2OI -->
xác định ⇒ có
Quĩ tích J là đường tròn (I) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến
- Chứng minh
JM=JN= và MN//BC ⇒các véc tơ
xác định ⇒ có
và ⇒ Quĩ tích M,N là ảnh của đường tròn (I) qua các phép tịnh tiến trên.
II. PHÉP QUAY
Bài 1: Cho tam giác đều ABC, A cố định, B di động trên đường tròn(O). Tìm quĩ tích C.
HD:
⇒ Quĩ tích C là đường tròn (O’) ảnh của (O) qua phép quay trên.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy B' đối xứng B qua AC.Tìm quĩ tích B' khi B, C chạy trên (O) sao cho góc BAC =α không đổi
HD:
=> Quĩ tích B’ là đường tròn (O’) ảnh của (O) qua phép quay trên.
Bài 3: Trên nửa đường tròn dường kính AB lấy điểm C, trên tia AC lấy điểm K sao cho AK=BC. Tìm quĩ tích K khi C chạy trên nửa đường tròn (AB)
HD: Gọi I là điểm chính giữa cung AB thì I cố định, chứng minh tam giác KIC vuông cân ⇒ có
⇒ Quĩ tích K là nửa đường tròn (O’) - ảnh của nửa đường tròn (O) qua phép quay trên.
III. ĐỐI XỨNG TÂM
Bài 1: Cho đoạn thẳng AC cố định nằm ngoài đường tròn (O), điểm B di động trên (O). Dựng hình bình hành ABCD, tìm quĩ tích D
HD: Gọi I là tâm hình bình hành ABCD, có
⇒ Quĩ tích I là đường tròn (O’) - ảnh của (O) qua phép đối xứng trên.
Bài 2: Cho tam giác ABC ngoài đường tròn (O), điểm M di động trên (O). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là ảnh của M,M1,M2 qua các phép đối xứng tâm A,B,C. Tìm quĩ tích M3.
HD: Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCI, chứng minh
Quĩ tích cần tìm.
ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM, TỊNH TIẾN
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm quĩ tích trực tâm H khi A,B cố định và C chạy trên (O).
VỊ TỰ
Bài 1: Cho tam giác ABC cố định, điểm M di động trên BC, Tìm quĩ tích trung điểm I của AM
HD: có
Quĩ tích I là B’C’ - ảnh của BC qua phép vị tự trên.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định, M là trung điểm dây AB. Tìm quĩ tích M khi B di động trên (O).
HD:
=> Quĩ tích cần tìm. (hình vẽ sau đây diễn tả ba trường hợp: A nằm ngoài, nằm trong và nằm trên (O) ).
Bài 3: Cho tam giác ABC cố định, điểm D di động sao cho AD=m, gọi H,I,J lần lượt là trung điểm AC, BD ,HI. Tìm quỹ tích I,J
HD: Có
và => quĩ tích cần tìm.
Bài 4: Cho đường tròn (O), đường kính MN quay quanh O, điểm C thuộc đường kính AB cố định, NC cắt AM tại I.
Tìm quỹ tích I.
HD: Chứng minh
quĩ tích cần tìm.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A cố định, BC không đổi. Tìm quĩ tích trọng tâm G.
HD: Chứng minh M chạy trên đường tròn tâm O bán kính OM không đổi;
quĩ tích cần tìm.
Bài 6: Cho tam giác vuông ABC, từ điểm D thuộc BC dựng DE,DF lần lượt vuông góc với AB, AC. Gọi G là điểm thuộc EF cho 3EG=GF. Tìm quĩ tích G khi D chạy trên BC.
HD:
; J chạy trên trung tuyến BM => quĩ tích G là ảnh của trung tuyến BM qua phép vị tự trên.
ĐỒNG DẠNG
Cho đường tròn(O) đường kính AB cố định, C di động trên (O), dựng hình vuông ACDE. Tìm quĩ tích E,D.
HD:
quĩ tích D là đường tròn (C3) - ảnh của (C) qua phép đồng dạng tâm A tỉ số
(hợp thành bởi phép quay và phép vị tự)
Các tệp Sketch có sử dụng trong bài viết.
Các giáo viên có thể tải về trực tiếp từ các đường link trong bảng dưới đây.
Mở rộng:
SỰ CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
TẠO RA CÁC ĐƯỜNG CÔNÍC
Cho điểm A và đường tròn (O) cố định, điểm B di động trên (O). Kẻ đường trung trực d của AB. Cho B di động trên (O), ta hãy xem đường thẳng d tạo nên hình gì?
Xét các vị trí của A so với (O): A nằm ngoài (O)- (cách xa , ở gần); A nằm trên (O), A nằm trong (O), A trùng với O.
Trường hợp: A nằm ngoài (O) và ở gần (O).
Trường hợp: A nằm trên đường tròn (O).
Trường hợp: A nằm trong đường tròn (O) nhưng không trùng với tâm của (O).
Trường hợp: A nằm trong đường tròn (O) và trùng với tâm của (O).
Tìm kiếm
Khách: 5
Thành viên: 0
Tổng cộng: 5
Phùng Hồng Kổn, konph@vnn.vn -Trường THPT Phan Đình Phùng
