Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
GẤP GIẤY
03/11/2008

Trong số này, tôi xin giới thiệu tới bạn yêu lập trình một bài toán thú vị liên quan một trò chơi quen thuộc: trò chơi gấp giấy. Quá trình tìm lời giải có sự kết hợp giữa phân tích và quan sát. Sau khi xem lời giải, bạn đọc có thể tiếp tục mở rộng và giải bài toán ở mức khó hơn.


1. Bài toán

Một người lấy tờ giấy phẳng (không nhàu, không có vết gấp) và chơi trò gấp giấy như sau:

Tại mỗi lượt gấp, người chơi chọn 4 trung điểm của 4 cạnh tờ giấy (hoặc phần giấy đã gấp) rồi gấp theo các đường nối trung điểm của hai cạnh liền kề.

Người chơi thực hiện gấp K > 0 lượt, sau đó gỡ các vết gấp ra để được tờ giấy toàn khổ. Các vết gấp trên tờ giấy tạo thành một lưới các tam giác và hình vuông.

Hai lượt gấp đầu tiên và kết quả sau hai lượt gấp được minh họa trong hình sau:

 

Hãy cho biết trên lưới này đếm được bao nhiêu hình vuông và bao nhiêu hình tam giác không chứa vết gấp nào bên trong chúng.

2. Phân tích

Bài toán không giống một bài toán quen thuộc nào đó. Tuy nhiên, nếu phân tích kỹ, chúng ta sẽ tìm ra các quy luật như sau:

Tại những lượt gấp chẵn, các vết gấp được tạo trong lượt gấp hình thành các đường dọc và ngang tờ giấy nằm giữa và cách đều các đường dọc và ngang được hình thành từ các lượt gấp chẵn trước. Nếu quan niệm bốn mép tờ giấy và hai trục đối xứng dọc và ngang tờ giấy là các vết gấp (giả) trong lượt gấp chẵn khởi tạo thì quy luật trên đúng với mọi lượt gấp chẵn. Các vết gấp dọc, ngang được hình thành trong các lượt gấp chẵn tạo thành lưới các hình vuông. Kích thước các hình vuông trên lưới được thu nhỏ (chia đôi) sau mỗi lượt gấp chẵn. Số lượng các hình vuông trên lưới được tăng gấp 4 sau mỗi lượt gấp chẵn.

Tại những lượt gấp lẻ, các vết gấp được tạo trong lượt gấp hình thành các đường song song với một trong hai đường chéo (đường nối hai đỉnh đối diện) của tờ giấy, nằm giữa và cách đều các đường được hình thành từ các lượt gấp lẻ trước. Nếu quan niệm hai đường chéo tờ giấy cùng các đường thẳng đi qua các đỉnh và vuông góc với đường chéo tại đỉnh là các đường gấp (giả) tại lần gấp lẻ khởi tạo thì quy luật trên đúng với mọi lượt gấp lẻ. Các vết gấp dọc, ngang (do các lượt gấp chẵn) tạo thành lưới các hình vuông còn các vết gấp chéo (do các lượt gấp lẻ) tạo nên các đường chéo của các (không phải tất cả) hình vuông trên lưới này.

Các quy luật trên được thể hiện trong hình vẽ sau:

 

Sau lượt gấp k chẵn, các vết gấp dọc và ngang tạo thành lưới gồm M2 hình vuông cùng kích thước với M = 2k/2+1. Các vết gấp chéo chia mỗi hình vuông thành hai tam giác. Lưu ý rằng chúng ta vẫn đang sử dụng bốn đường gấp giả (trục đối xứng dọc, trục đối xứng ngang và hai đường chéo tờ giấy). Lưới đầy đủ có 2M2 tam giác. Bây giờ, chúng ta thực hiện loại bỏ bốn đường gấp giả và thu được 2M-3 hình vuông cùng 2M2-6M + 4 tam giác.

Sau lượt gấp k lẻ, các vết gấp dọc và ngang tạo thành lưới gồm M2 hình vuông cùng kích thước với M =2(k-1)/2+1. Các vết gấp chéo chia mỗi hình vuông thành bốn tam giác. Lưu ý rằng chúng ta cũng đang sử dụng bốn đường gấp giả (trục đối xứng dọc, trục đối xứng ngang và hai đường chéo tờ giấy). Lưới đầy đủ có 4M2 tam giác. Bây giờ, chúng ta thực hiện loại bỏ bốn đường gấp giả và thu được 2M-3 hình vuông cùng 4M2 – 8M + 4 tam giác.

3. Mở rộng

Trên đây chúng ta đã đếm số hình vuông và số hình tam giác được tạo thành do các vết gấp. Bạn đọc có thể tính số đoạn thẳng là cạnh của các hình vuông và tam giác kể trên. Nếu thực hiện tất cả các lượt gấp theo cùng một chiều, chúng ta có thể tính số đoạn gấp về mặt này của tờ giấy và số đoạn gấp về mặt kia của tờ giấy.

Lê Đình Thanh

Khoa Kỹ thuật Công nghệ - Trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa.

thanhld.hdu@gmail.com, hoặc
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=2610
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn