Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Toán 11 - Chương I - Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau.
03/11/2010

I. Khái niệm về phép dời hình.

Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều có một tính chất chung là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Người ta dùng tính chất đó để định nghĩa phép biến hình sau đây.

Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’, N’ thì MN = M’N’.


Nhận xét

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

Ví dụ 1.

a) Tam giác A’B’’C’’ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình (h.1.39a).

b) Ngũ giác MNPQR là ảnh của ngũ giác M’N’P’Q’R’ qua phép dời hình (h.1.39b).

c) Hình là ảnh của hình qua phép dời hình (h.1.40)




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.39a.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.39b.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.40.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?1. Cho hình vuông ABCD, goi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90o và phép đối xứng qua đường thẳng BD. (h.41)




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.41.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ví dụ 2.

Trong hình 1.42 tam giác DEF là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.42.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.


II. Tính chất

Phép dời hình:

1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

3)Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

?2. Hãy chứng minh tính chất 1.

Gợi ý. Sử dụng tính chất điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khiAB + BC = AC (h. 1.43).




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.43.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?3. Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép dời hình F. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B’.

Chú ý.

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’ (h.1.44).




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.44.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ 3. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó (h.1.45). Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 600 và phép tịnh tiến theo vectơ




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.45.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Giải

Gọi phép dời hình đã cho là F. Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác OAB qua phép dời hình F. Ta có phép quay tâm O, góc 600 biến O, A và B lần lượt thành O, B, C. Phép tịnh tiến theo vectơ biến O, B và C lần lượt thành E, O và D. Từ đó suy ra F(O) = E, F(A) = O, F(B)=D. Vậy ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình F là tam giác EOD.

?4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH (h.1.46).




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.46.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.


II. Khái niệm hai hình bằng nhau.




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.47.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Quan sát hình hai con gà trong tranh dân gian (h.1.47), vì sao có thể nói hai hình bằng nhau?

Chúng ta đã biết phép dời hình biến một tam giác thành tam giác bằng nó. Người ta cũng chứng minh được rằng với hai tam giác bằng nhau luôn có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Người ta dùng tiêu chuẩn đó để định nghĩa hai hình bằng nhau.

Định nghĩa

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Ví dụ 4

a) Trên hình 1.48, hai hình thang ABCD và A’’B’’C’’D’’ bằng nhau vì có một phép dời hình biến hình thang ABCD thành hình thang A’’B’’C’’D’’.




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.48.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

b) Phép tịnh tiến theo vectơ biến hình thành hình , phép quay tâm O góc 900 biến hình thành hình . Do đó phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ và phép quay tâm O góc 900 biến hình thành hình . Từ đó suy ra hai hình bằng nhau (h.1.49).




Tải trực tiếp tệp hình học động:L11_Ch1_h1.49.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.



Bài tập

1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4;5) và C(-1;3).

a) Chứng minh rằng các điểm A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép qua phép quay tâm O góc – 900.

b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc – 900 và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A1B1C1.

2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

3. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=4794
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn